YouTubeの限定公開で生徒が演奏した合唱の動画アップをして、本校生徒のみが閲覧可能なパスワードをかけたページにURLのリンクを貼るという運用を考えています。この場合、許諾は必要でしょうか

はい、必要となると考えます。
授業目的公衆送信補償金制度は、学校その他の教育機関が授業の過程で行う著作物の利用を対象としたものです。全校生徒を対象に、いつでも自由に著作物が利用されるような場面は想定していませんので、合唱曲の著作権者の許諾を得ていただければと思います。